题目内容

已知f（x）=cos2x+2
3
sinxcosx（0≤x≤
π
2
）
（1）求函数f（x）的最大值，并指明取到最大值时对应的x的值；
（2）若0＜θ＜
π
6
，且f（θ）=
4
3
，计算cos2θ的值．
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：计算题,三角函数的求值
分析：（1）化简函数f（x），的最大值，由
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
得f（x）最大值为2，此时x=
π
6
．
（2）先求出sin(2θ+
π
6
)=
2
3
，cos(2θ+
π
6
)=
5
3
．即可计算cos2θ=cos（2θ+
π
6
-
π
6
）=
2+
15
6
．
解答： 解：（1）∵f（x）=cos2x+2
3
sinxcosx=cos2x+
3
sin2x=2sin（2x+
π
6
）
∵0≤x≤
π
2
，∴
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6

∴f（x）最大值为2，此时x=
π
6
．
（2）∵f（θ）=2sin（2θ+
π
6
）=
4
3
．∴sin(2θ+
π
6
)=
2
3
．
又0＜θ＜
π
6
，
π
6
＜2θ+
π
6
＜
π
2
，∴cos(2θ+
π
6
)=
5
3
．
cos2θ=cos（2θ+
π
6
-
π
6
）=cos（2θ+
π
6
）cos
π
6
+sin（2θ+
π
6
）sin
π
6
=
2+
15
6
．
点评：本题主要考察三角函数中的恒等变换应用，属于基础题．
练习册系列答案
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．
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种．
（结果用数值表示）
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1
2n
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n(n+3)
2
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2x-k
x2+1
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1+k2
成立，则实数a的取值范围是（　　）
A、[
8
5
，+∞)
B、(-∞，
8
5
]
C、[
3
5
，+∞)
D、[
3
5
，
8
5
]
一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（　　）
A、
1
3
B、
2
3
C、1
D、2
若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（1-x），则当x≥0时，函数f（x）的解析式为
 
．

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