Question

锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．若∠C=50°，则∠IEH的度数=

 

．

Answer 1

考点：弦切角

专题：直线与圆

分析：由于⊙I切AC于点E，可得IE⊥AC，又AH⊥IH，可得A、I、H、E四点共圆，在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧．再利用三角形内角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出．

解答： 解：∵⊙I切AC于点E，∴IE⊥AC，得∠AEI=90°，
又∵AH⊥IH，可得∠AHI=90°，
∴∠AEI=∠AHI=90°，
因此，A、I、H、E四点共圆，在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧，
∴∠IEH=∠IAH．
∵锐角△ABC的内心为I，
∴AI、BI分别是∠BAC、∠ABC的平分线，
可得∠IAB=

1

2

∠BAC，∠IBA=

1

2

∠ABC，
因此，∠IAB+∠IBA=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠C）=

1

2

（180°-50°）=65°．
∵∠AIH为△ABD的外角，∴∠AIH=∠IAB+∠IBA=65°，
Rt△AIH中，∠IAH=90°-∠AIH=25°，可得∠IEH=∠IAH=25°．
故答案为：25°．

点评：本题考查了四点共圆的判定与性质、弦切角定理、三角形内角平分线的性质和三角形的内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．