Question

是否存在锐角α，β，使

α

2

+β=

π

3

，tan

α

2

•tanβ=2-

3

同时成立？若存在，求出α，β的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：利用条件

α

2

+β=

π

3

，tan

α

2

•tanβ=2-

3

构造关于tan

α

2

、tanβ的方程组，解出tan

α

2

、tanβ，进而求出α，β的度数．

解答： 解：存在．
∵

3

=tan

π

3

=tan(

α

2

+β)=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

=

tan α 2 +tanβ

1-(2- 3 )

∴tan

α

2

+tanβ=3-

3

…①
tan

α

2

•tanβ=2-

3

…②
由①②解得：

tan α 2 =1 tanβ=2- 3

或

tan α 2 =2- 3 tanβ=1

∴

α=90° β=15°

（舍），

α=30° β=45°

∴存在α=30°，β=45°满足题意．

点评：解决本题的关键是根据两式同时成立构各造方程组，求解过程中注意α，β为锐角．