Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），椭圆上两点A，B坐标分别为A（a，0），B（0，b），若△ABF₂的面积为

3

2

，∠BF₂A=120°．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，计算得：b=

3

c，a=2c，由S_△ABF2=

1

2

（a-c）b=

3

2

，可计算得a=2，b=

3

，c=1，从而可求椭圆标准方程．
（2）分情况进行讨论：由题意，当直线MN的斜率不存在，此时可设M（x₀，x₀），N（x₀，-x₀），再由A、B在椭圆上可求x₀，此时易求点O到直线MN的距离；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OM⊥ON，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，整理后代入韦达定理即可得m，k关系式，由点到直线的距离公式可求得点O到直线MN的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△＞0．

解答： 解：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，计算得：b=

3

c，a=2c
由S_△ABF2=

1

2

（a-c）b=

3

2

，
计算得a=2，b=

3

，c=1，
所以椭圆标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
证明：（2）由题意，当直线MN的斜率不存在，此时可设M（x₀，x₀），N（x₀，-x₀）．
又MN两点在椭圆C上，
所以

x02

4

+

x02

3

=1，x₀²=

12

7

．
所以点O到直线MN的距离d=

12 7

=

2 21

7

．
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由已知△＞0，设M（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．
所以x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

．
因为OM⊥ON，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
所以（k²+1）

4m2-12

3+4k2

-km×

8km

3+4k2

+m²=0．
整理得7m²=12（k²+1），满足△＞0．
所以点O到直线MN的距离d=

|m|

k2+1

=

12 7

=

2 21

7

为定值．

点评：本题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力．