题目内容

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，设M是抛物线上的动点，则
|MO|
|MF|
的最大值为（　　）
A、
3
3
B、
2
3
3
C、
2
3
5
D、
4
3
5
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由抛物线方程为：y2=2px（p＞0），可得：焦点F（
p
2
，0），由抛物线的定义可得
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
，化简再换元，利用基本不等式求得最大值．
解答： 解：由抛物线方程为：y2=2px（p＞0），可得：
焦点F（
p
2
，0），
设M（m，n），则n2=2pm，m＞0，设M 到准线x=-
p
2
的距离等于d，
则
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
=
m2+n2
m+
p
2
=
m2+2pm
m+
p
2
=
m2+2pm
m2+pm+
p2
4
=
1+
pm-
p2
4
m2+pm+
p2
4
．
令 pm-
p2
4
=t，t＞-
p2
4
，则 m=
t
p
+
p
4
，
∴
|MO|
|MF|
=
1+
t
t2
p2
+
3
2
t+
9
16
p2
=
1+
1
t
p2
+
3
2
+
9
16t
p2
≤
1+
1
3
=
2
3
3
（当且仅当 t=
3p2
4
 时，等号成立）．
故
|MO|
|MF|
的最大值为
2
3
3
，
故选：B
点评：本题考查抛物线的定义、基本不等式的应用，考查换元的思想，解题的关键是表达出
|MO|
|MF|
，再利用基本不等式，综合性强．
练习册系列答案
相关题目
在圆中，等于半径长的弦长所对的圆心角的弧度数是
 
．
已知i是虚数单位，复数z1=1+2i，z2=3+4i，那么z1+z2=（　　）
A、5+5iB、4+6i
C、10iD、10
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=
A1B1
4
，求BE1与DF1所成角的余弦值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右两焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），椭圆上两点A，B坐标分别为A（a，0），B（0，b），若△ABF2的面积为
3
2
，∠BF2A=120°．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．
直线ax-y+2a=0与曲线y=
4-(x-1)2
相交于相异两点，则实数a的取值范围是（　　）
A、[-
2
5
5
，
2
5
5
]
B、（-
2
5
5
，
2
5
5
）
C、[0，
2
5
5
]
D、[0，
2
5
5
）
如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样移动解答：
①移动5次后、6次后该点对应的数；
②分别求出移动（2n-1）次和2n次后该点到原点的距离（n为正整数）
③多少次后该点到原点的距离为2015？
函数f（x）=x-alnx-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）a=1时，不等式f（x）+（b+1）f′（x）＜x-1对x＞1恒成立，求正整数b的取值集合．
若直线l的方向向量
a
=（-2，3，1）平面α的一个法向量
n
=（4，0，1）则直线l与平面α所成的角的正弦值为
 
．

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