Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EP⊥PB交PB于点F
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）若PD=DC=2，求三棱锥A-DCE的体积；
（3）证明：PB⊥EFD平面．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据图形的性质得出PA∥BO，而EO?平面EDB且PA?平面EDB．即可得证PA∥平面EDB，
（2）得出三棱锥E-ABD高为EHV_A-BDE=V_E-ABD求解即可．
（3）根据直线平面的垂直，判断可以推证．

解答： 证明：（1）连接AC，AC交BD于点D．连接EO，如图．

∵底面ABCD是正方形．
∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥BO，
而EO?平面EDB且PA?平面EDB．
所以PA∥平面EDB，
（2）设CD点为H连接EH，得EH∥PD，且EH=

1

2

PD=1，
∵PD⊥平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，
∴三棱锥E-ABD高为EH，
∴V_A-BDE=V_E-ABD=

1

3

S_△ABD•EH=

1

3

×

1

2

×22×1=

2

3

，
（3）DC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC，
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．而DE?平面PDC，
∴BC⊥ED．
由①和②推得DE⊥平面PBC           
而PB?平面PBC，
∴DE⊥PB．
又EF⊥PB且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD，

点评：本题考察了直线与平面垂直，平行的判断，属于中档题，难度不大．