Question

已知抛物线y²=6x．
（1）求以点M（4，1）为中点的弦所在的直线方程；
（2）求过焦点F的弦的中点轨迹；
（3）求抛物线被直线y=x-b所截得的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设所求直线与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得

y

2 1

=6x1，

y

2 2

=6x₂，两方程相减可得

(y1+y2)(y1-y2)

x1-x2

=6，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出k_AB，利用点斜式即可．
（2）抛物线y²=6x的焦点F(

3

2

，0)．设所求直线的方程为my=x-

3

2

，与抛物线相交于两点C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），线段CD的中点N（x₀，y₀）．与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式并消去参数m即可得出．
（3）设直线y=x-b与抛物线相交于两点E（x₅，y₅），F（x₆，y₆），线段EF的中点Q（x，y）．与抛物线方程联立，化为y²-6y-6b=0，△＞0，解得b＞-

3

2

．再利用中点坐标公式即可得出．

解答： 解：（1）设所求直线与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则

y

2 1

=6x1，

y

2 2

=6x₂，
∴

(y1+y2)(y1-y2)

x1-x2

=6，
∴2k_AB=6，
∴k_AB=3．
∴以点M（4，1）为中点的弦所在的直线方程是y-1=3（x-4），化为3x-y-11=0．
（2）抛物线y²=6x的焦点F(

3

2

，0)．
设所求直线的方程为my=x-

3

2

，与抛物线相交于两点C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），线段CD的中点N（x₀，y₀）．
联立

my=x- 3 2 y2=6x

，化为y²-6my-9=0．
△＞0．
∴y₃+y₄=6m=2y₀，∴y₀=3m．
∴x0=my0+

3

2

=

y 2 0

3

+

3

2

．
化为

y

2 0

=3(x0-

3

2

)(x0≥

3

2

)，即为过焦点F的弦的中点轨迹方程．
（3）设直线y=x-b与抛物线相交于两点E（x₅，y₅），F（x₆，y₆），线段EF的中点Q（x，y）．
联立

y=x-b y2=6x

，化为y²-6y-6b=0，△=36+24b＞0，
解得b＞-

3

2

．
y₅+y₆=6=2y，∴y=3，x=3+b(b＞-

3

2

)．
抛物线被直线y=x-b所截得的弦的中点的轨迹方程为y=3，x=3+b(b＞-

3

2

)．

点评：本题考查了直线与抛物线相交弦的中点轨迹问题转化为方程联立、根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．