Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

．
（1）椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；
（2）求b为何值时，过圆x²+y²=t²上一点M（2，

2

）处的切线交椭圆于Q₁，Q₂两点，且OQ₁⊥OQ₂．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 2a=4

，由此能求出椭圆方程．
（2）过圆x²+y²=t²上的一点M（2，

2

）处的切线方程为2x+

2

y-6=0，令Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），由

2x+ 2 y-6=0 x2+2y2=2b2

，得5x²-24x+36-2b²=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，
椭圆上的一点A到两焦点的距离之和为4，
∴

e= c a = 2 2 2a=4

，
解得a=2，b=

2

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）过圆x²+y²=t²上的一点M（2，

2

）处的切线方程为2x+

2

y-6=0，
令Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
则

2x+ 2 y-6=0 x2+2y2=2b2

，
化为5x²-24x+36-2b²=0，
由△＞0，得b＞

3 10

5

，
x1+x2=

24

5

，x1x2=

36-2b2

5

，
y1y2=2x1x2-6(x1+

x

2

)+18=

18-4b2

5

，
∵OQ₁⊥OQ₂，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，解得b²=9，
∵b＞

3 10

5

，
∴b=3．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．