Question

如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A₁DE
（1）设M为线段A₁C的中点，求证：BM∥平面A₁DE；
（2）当平面A₁DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A₁CE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取CD中点N，并连接MN，BN，容易证明平面BMN∥平面A₁DE，所以便得到BM∥平面A₁DE；
（2）容易说明CE⊥平面A₁DE，所以DA₁⊥CE，又DA₁⊥A₁E，所以DA₁⊥平面A₁CE，所以∠A₁CD便是直线CD与平面A₁CE所成角，所以该角的正弦值为

A1D

CD

=

2

4

=

1

2

．

解答： 解：（1）证明：如图，取CD中点N，连接MN，BN，∵M为A₁C的中点，∴MN∥A₁D，A₁D?平面A₁DE，∴MN∥平面A₁DE；
∵E为AB的中点，四边形ABCD为矩形，∴DN∥BE，且DN=BE，∴四边形BEDN为平行四边形；
∴BN∥ED，ED?平面A₁DE，∴BN∥平面A₁DE，MN∩BN=N；
∴平面BMN∥平面A₁DE，BM?平面BMN，∴BM∥平面A₁DE；
（2）根据已知条件知：△ADE，和△BCN都是等腰直角三角形，∠AED=∠BEC=45°，∴∠CED=90°即CE⊥DE；
∵平面A₁DE⊥平面BCD，且平面A₁DE∩平面BCD=DE，CE?平面BCD；
∴CE⊥平面A₁DE，DA₁?平面A₁DE，∴CE⊥DA₁，即DA₁⊥CE，又∠EAD=∠DA₁E=90°，即DA₁⊥A₁E，A₁E∩CE=E；
∴DA₁⊥平面A₁CE；
∴∠DCA₁即是直线CD与平面A₁CE所成的角，∴sin∠DCA₁=

DA1

CD

=

2

4

=

1

2

；
即直线CD与平面A₁CE所成角的正弦值为

1

2

．

点评：考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，及面面平行的性质，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法．