Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别是棱PB、PC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）借助三角形内的中位线证明线线平行，进而证明线面平行；
（Ⅱ）由线面垂直证明线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直．

解答： 证明：（Ⅰ）在△PBC中，
∵点D、E分别是棱PB、PC的中点，
∴DE∥BC，
又∵DE?平面ABC，BC?平面ABC；
∴DE∥平面ABC．
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵∠BCA=90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC，
∴平面PBC⊥平面PAC．

点评：本题考查了线面平行，面面垂直的证明，属于基础题．