Question

已知直线l与x+y+2=0垂直，且在y轴上的截距为-4．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）求与直线l距离为

2

的直线的一般式方程；
（3）是否存在以点C（1，-2）为圆心的圆，使得以圆C截直线l所得的弦AB为直径的圆过原点O？若存在，求出圆C的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得k_l=1，由此能求出直线l的方程．
（2）设与直线l距离为

2

的直线的一般式方程为x-y+c=0，则

|c+4|

2

=

2

，由此能求出直线方程．
（3）假设存在圆．设圆C：（x-1）²+（y+2）²=r²，由已知得

(x-1)2+(x+2)2=r2 x-y-4=0

，得2x²-6x+5-r²=0，由此结合已知条件能求出圆的方程．

解答： 解：（1）∵直线l与x+y+2=0垂直，∴k_l=1，
∵直线l在y轴上的截距为-4，
∴直线l的方程为：y=x-4，整理得x-y-4=0．
（2）设与直线l距离为

2

的直线的一般式方程为x-y+c=0，
则

|c+4|

2

=

2

，解得c=6，或c=2，
∴直线方程为x-y-2=0或x-y-6=0．
（3）假设存在圆．
设圆C：（x-1）²+（y+2）²=r²，
由已知得

(x-1)2+(x+2)2=r2 x-y-4=0

，
整理，得2x²-6x+5-r²=0，
由△＞0，得r2＞

1

2

，
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则x1+x2=3，x1x2=

5-r2

2

，
由题意得k₁k₂=-1，整理，得y₁y₂+x₁x₂=0，
代入上式，得：（x₁-4）（x₂-4）+x₁x₂=0，
得（5-r²）+4=0，解得r²=9，
故存在圆C：（x-1）²+（y+2）²=9满足题意．

点评：本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．