Question

下列说法：
①已知

.

e

是单位向量|

.

a

+

.

e

|=|

.

a

-2

.

e

|，则

a

在

e

方向上的投影为

1

2

；
②函数f(x)=

x-1

2x+1

的对称中心是(-

1

2

，-

1

2

)；
③将函数y=sin（2x+

π

3

）图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=2sin2x的图象；
④在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；
其中正确的命题序号是

 

（填出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：化简①由已知化简可得

a

•

e

=

1

2

e

²，而要求的等于|

a

|cos＜

a

，

e

＞，代入化简，即可判断正误；利用分离常数法，对函数的解析式进行变形，进而求出对称中心，可判断②；根据函数图象的平移变换法则，求出平移后函数的解析式，可判断③；根据正弦定理，及三角形大角对大边的性质，可判断④．

解答： 解：对于①，∵|

a

+

e

|=|

a

-2

e

|，
∴（|

a

+

e

|）²=（|

a

-2

e

|）²，
展开化简可得：

a

•

e

=

1

2

e

²，
故

a

在

e

方向上的投影等于|

a

|cos＜

a

，

e

＞=

a • e

| e |

=

1

2

，所以①正确．
对于②，函数f(x)=

x-1

2x+1

=

1

2

+

- 3 2

2x+1

，其中x≠-

1

2

，y≠

1

2

，故函数f(x)=

x-1

2x+1

的对称中心是(-

1

2

，

1

2

)，故②错误；
对于③，将函数y=sin（2x+

π

3

）图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=2sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=sin（2x-

π

3

）的图象，故③错误；
对于④在△ABC中，若A＜B，则a＜b，即2RsinA＜2RsinB，即sinA＜sinB，故④正确．
故正确的命题序号是：①④，
故答案为：①④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的投影与数量积运算，函数的对称性，函数图象的平移变换，正弦定理，难度中档．