Question

5．定义在R上的奇函数f（x）满足x＞0时，f（x）=x-$\sqrt{x}$+1．
（1）求函数f（x）的解析式； 
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由奇函数的性质分析有f（0）=0；再令x＜0，则有-x＞0，分析可得f（x）=-f（-x）=-[（-x）-$\sqrt{-x}$+1]=x+$\sqrt{-x}$+1，综合可得函数的解析式；
（2）根据题意，由（1）的解析式分三种情况讨论：当x＞0时，令t=$\sqrt{x}$＞0，则有f（x）=x-$\sqrt{x}$+1=t²-t+1，由二次函数的性质分析可得此时值域，当x=0时，有f（0）=0，当x＜0时，由奇函数的性质可得此时函数的值域，综合三种情况可得答案．

解答 解：（1）根据题意，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-[（-x）-$\sqrt{-x}$+1]=x+$\sqrt{-x}$-1，
故函数f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{x}+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{x+\sqrt{-x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
（2）当x＞0时，令t=$\sqrt{x}$＞0，
则有f（x）=x-$\sqrt{x}$+1=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
又由t＞0，则有f（x）≥$\frac{3}{4}$，
当x=0时，有f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x），
而f（-x）≥$\frac{3}{4}$，则f（x）≤-$\frac{3}{4}$；
综合可得函数f（x）的值域为{y|y≥$\frac{3}{4}$或y≤-$\frac{3}{4}$或y=0}．

点评 本题考查函数奇偶性的应用，注意结合奇函数的性质求出解析式，不能忽略f（0）=0．