Question

11．在△ABC，中，AB=2，cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，D是AC上一点，AD=2DC，且cos∠DBC=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．则 $\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=-4．

Answer 1

分析 根据cosC，cos∠DBC的值，便可求出cos$∠BDC=-\frac{1}{2}$，从而求出sin∠BDC的值，可设DC=x，BC=a，在△BDC中，由正弦定理即可得出a=$\sqrt{7}x$，而在△ABC中，根据余弦定理即可求出x=1，从而得出AD，CB的值，这样进行数量积的计算即可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}$的值．

解答 解：△BDC中，∵$cosC=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，$cos∠DBC=\frac{5\sqrt{7}}{14}$；
∴$sinC=\frac{\sqrt{21}}{7}，sin∠DBC=\frac{\sqrt{21}}{14}$；
∠BDC=π-（C+∠DBC）；
∴cos∠BDC=-cos（C+∠DBC）
=sinCsin∠DBC-cosCcos∠DBC
=$\frac{\sqrt{21}}{7}×\frac{\sqrt{21}}{14}-\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{5\sqrt{7}}{14}$
=$-\frac{1}{2}$；
∴$sin∠BDC=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
设DC=x，BC=a；
在△BDC中，由正弦定理得：$\frac{x}{\frac{\sqrt{21}}{14}}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$；
∴$a=\sqrt{7}x$；
在△ABC中，AC=3x，$BC=\sqrt{7}x$，AB=2；
∴由余弦定理得：$cosC=\frac{2\sqrt{7}}{7}=\frac{9{x}^{2}+{7x}^{2}-4}{6\sqrt{7}{x}^{2}}$；
解得x=1，∴$AD=2，CB=\sqrt{7}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}=2\sqrt{7}cos（π-C）$=$-2\sqrt{7}cosC=-2\sqrt{7}×\frac{2\sqrt{7}}{7}=-4$．
故答案为：-4．

点评 考查两角和的余弦公式，正余弦定理，以及数量积的计算公式．