题目内容

在△ABC中，a，b，c分剐是角A，B，C的对边，且3cosAcosC（tanAtanC-1）=1．
（Ⅰ）求sin（2B-
5π
6
）的值；
（Ⅱ）若a+c=
3
3
2
，b=
3
，求△ABC的面积．
考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简，整理后求出cosB的值，确定出sinB的值，进而求出sin2B与cos2B的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB，利用完全平方公式变形后，将a+b，b，cosB的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答： 解：（Ⅰ）由3coscosC（tanAtanC-1）=1得：3cosAcosC（
sinAsinC
cosAcosC
-1）=1，
整理得：3（sinAsinC-cosAcosC）=1，即cos（A+C）=-cosB=-
1
3
，
∴cosB=
1
3
，
∵B为三角形内角，
∴sinB=
2
2
3
，
∴sin2B=2sinBcosB=
4
2
9
，cos2B=1-2sin2B=-
7
9
，
则sin（2B-
5π
6
）=sin2Bcos
5π
6
-cos2Bsin
5π
6
=-
4
2
9
×
3
2
-（-
7
9
）×
1
2
=
7-4
6
18
；
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
(a+c)2-2ac-b2
2ac
=
1
3
，
将a+c=
3
3
2
，b=
3
代入得：ac=
45
32
，
则S△ABC=
1
2
acsinB=
15
2
32
．
点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=sin（ωx-
π
3
）（ω＞0）的周期是π，将函数f（x）的图象沿x轴向左平移
π
6
得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式是（　　）
A、g（x）=sin（
1
2
x-
π
4
）
B、g（x）=sin（2x-
π
6
）
C、g（x）=sin2x
D、g（x）=sin（2x-
2π
3
）
已知抛物线C：y=
1
8
x2，则以抛物线的焦点F为一个焦点，且离心率为
2
的双曲线E的标准方程为（　　）
A、
x2
2
-
y2
2
=1
B、
y2
2
-
x2
2
=1
C、
y2
1
2
-
x2
1
2
=1
D、
x2
1
2
-
y2
1
2
=1
设f（x）=ex（ax2-7x+13），其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：2ex-y+e=0平行．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
已知函数f（x）=xex（e为自然对数的底数）
（1）求函数在x=1处的切线方程；  
（2）若任意x∈R，f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的最小正周期为π，且其图象经过点（
π
3
，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（
x
2
+
π
12
），α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=
3
2
4
，求g（α-β）的值．
设函数f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1．
（1）当0＜a＜
1
2
时，求函数f（x）的单调区间．
（2）当a=
1
3
时设函数g（x）=x2-2bx-
5
12
若对于?x1∈（0，e]，?x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围（e是自然对数的底，e＜
3
+1）．
已知函数f（x）=（mx+n）e-x（m，n∈R，e为自然数）
①若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，试确定函数f（x）的单调区间．
②当n=-1，m∈R时，若对于任意x∈[
1
2
，1]都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值．
曲线y=x3+x2-1在点P（-1，-1）处的切线方程是
 
．

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