题目内容

如图，△ABC的三个内角分别为A，B，C，cosA=
1
3
，cosB=
2
2
3
．CD是∠ACB的角平分线．
（1）求角C的大小；
（2）求∠ADC的余弦值．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）由cosA与cosB都大于0，得到A与B都为锐角，求出cos2A+cos2B=1，变形后利用同角三角函数间基本关系及诱导公式变形求出A+B的度数，即可确定出C的度数；
（2）由CD为角平分线，利用三角形外角性质得到∠ADC=B+
π
4
，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值cos∠ADC的值．
解答： 解：（1）∵cosA＞0，cosB＞0，且A，B是△ABC的内角，
∴A与B都为锐角，
∵cos2A+cos2B=
1
9
+
8
9
=1，
∴sin2A=cos2B，即sinA=cosB，
∴sinA=sin（
π
2
-B），即A=
π
2
-B，
∴A+B=
π
2
，
则C=
π
2
；
（2）由（1）得：C=
π
2
，
∴∠DCB=
π
4
，即∠ADC=B+
π
4
，
∴cos∠ADC=cos（B+
π
4
）=cosBcos
π
4
-sinBsin
π
4
=
2
2
3
×
2
2
-
1
3
×
2
2
=
4-
2
6
．
点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（　　）
A、12B、18C、24D、36
若函数f（x）为偶函数，且
∫
3
0
f（x）dx=8，则
∫
3
-3
[f（x）+2]dx=（　　）
A、12B、16C、20D、28
已知函数f（x）=xex（e为自然对数的底数）
（1）求函数在x=1处的切线方程；  
（2）若任意x∈R，f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=
lnx
x
的图象为曲线C．
（1）求曲线C：y=f（x）在点A（1，0）处的切线l的方程．
（2）证明：除切点（1，0）之外，切线l在曲线C的上方．
设函数f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1．
（1）当0＜a＜
1
2
时，求函数f（x）的单调区间．
（2）当a=
1
3
时设函数g（x）=x2-2bx-
5
12
若对于?x1∈（0，e]，?x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围（e是自然对数的底，e＜
3
+1）．
已知函数y=f（x）的定义域为[-1，1]，且f（-x）=-f（x），f（1）=1，当a，b∈[-1，1]且a+b≠0，时
f(a)+f(b)
a+b
＞0恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性；
（2）解不等式f(x+
1
2
)＜f(
1
x-1
)；
（3）若f（x）＜m2-2am+1对于所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
求下列函数的导数．
（1）y=2xsin（2x-5）
（2）f（x）=ln
x2+1

（3）y=
2x
x2+1
．
数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=
1
2
，an=
2-n
n
Sn，则
lim
n→∞
（S1+S2+…+Sn）=
 
．

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