Question

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x-3y-5=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）试探究能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M的特点，并指出f（x）和g（x）在区间M上的单调性；若不能存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x-3y-5=0垂直，可得g（x）在（1，g（1））处的切线斜率为-3，利用导数，即可求a的值；
（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）分类讨论，确定函数的单调性，可得能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=ax-lnx，∴g（1）=a，g′(x)=a-

1

x

，
∵g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x-3y-5=0垂直，
∴g′(1)×

1

3

=-1⇒(a-1)•

1

3

=-1⇒a=-2…（3分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=e^x+a．
令f'（x）=0，得x=ln（-a）．   …（4分）
若ln（-a）≤0，即-1≤a＜0时，f′（x）≥0，f（x）在x∈[0，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（0）=1；…（5分）
若ln（-a）≥2，即a≤-e²时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[0，2]上为减函数，
∴f(x)min=f(2)=e2+2a； …（6分）
若0＜ln（-a）＜2，即-e²＜a＜-1时，
由于x∈[0，ln（-a））时，f'（x）＜0；x∈（ln（-a），2]时，f'（x）＞0，
∴f（x）_min=f（ln（-a））=aln（-a）-a
综上可知f（x）_min=

1，-1≤a＜0 e2+2a，a≤-e2 aln(-a)-a，-e2＜a＜-1

…（8分）
（Ⅲ）g（x）的定义域为（0，+∞），且 g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
∵a＜0时，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减．…（9分）
令f'（x）=0，得x=ln（-a）
①若-1≤a＜0时，ln（-a）≤0，在（ln（-a），+∞）上f'（x）＞0，∴f（x）单调递增，
由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴不能存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性；…（10分）
②若a＜-1时，ln（-a）＞0，在（-∞，ln（-a））上f'（x）＜0，f（x）单调递减；
在（ln（-a），+∞）上f'（x）＞0，f（x）单调递增．
由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴存在区间M⊆（0，ln（-a）]，使得f（x）和g（x）在区间M上均为减函数．
综上，当-1≤a≤0时，不能存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性；当a＜-1时，存在区间M⊆（0，ln（-a）]，使得f（x）和g（x）在区间M上均为减函数．…（13分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于难题．