Question

已知函数f（x）=

6|x-2|-6，1≤x≤3 1 3 f( x 3 )，x＞3

．有下列说法：
①函数f（x）的值域为[-6，0]；
②函数g（x）=f（x）+2•（

1

3

）ⁿ有2n+5（n∈N^*）个不相同的零点；
③当x∈[3^n-1，3ⁿ）（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为6；
④若关于x的不等式x|f（x）|＞m在x∈[1，+∞）上有解，则m的取值范围是（-∞，12]．
其中说法正确的总个数为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：由已知解析式，画出函数的图象，进而根据图象得出答案．

解答： 解：函数f（x）=

6|x-2|-6，1≤x≤3 1 3 f( x 3 )，x＞3

的图象如下图所示：

∴①函数f（x）的值域为[-6，0]，故正确；
②当n=1时，f（18）=-

2

3

，函数g（x）=f（x）+2•（

1

3

）有5个零点，而2n+5=7，
当n=2时，f（54）=-

2

9

，函数g（x）=f（x）+2•（

1

3

）²有7个零点，而2n+5=9，
…
故函数g（x）=f（x）+2•（

1

3

）ⁿ有2n+3（n∈N^*）个不相同的零点，故错误；
③当x∈[3^n-1，3ⁿ）（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形为三角形，
底边长为：3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1，高为2•3^-n+2，
故面积为S=

1

2

2•3^n-1•2•3^-n+2=6，故正确；
④y=x|f（x）|在x∈[1，+∞）上的值域为[0，12]，若关于x的不等式x|f（x）|＞m在x∈[1，+∞）上有解，则m的取值范围是（-∞，0]，故错误．
故有3个命题是正确的，
故选：B

点评：本题考查了分段函数的解析式、图象及其性质，考查了分类讨论、数形结合的思想方法，属于难题．