Question

【题目】已知椭圆的焦距为,左、右顶点分别为、,是椭圆上一点, 记直线、的斜率为、,且有.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点, 以、为直径的圆经过原点, 且线段的垂直平分线在轴上的截距为,求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可得，设，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，计算可得，，进而得到椭圆方程；

（2）将直线：代入椭圆，设，运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，解方程可得，，进而得到所求直线的方程.

试题解析：（1）依题意,, 设,则有 ,即,

,又,

即椭圆的方程为.

（2）设的中点为,联立得到

, ①

②

因为以为直径的圆经过顶点,,

,化简得 ③

将②式代入得到代入①式得,.

由于线段的垂直平分线经过点,,将②代入得到

④ 联立③④得或,,

直线的方程为.