题目内容

【题目】为了保护环境,2015年合肥市胜利工厂在市政府的大力支持下,进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本(万元)与处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为:且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.

(1)当时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损?

(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?

【答案】(1)该工厂不会获利,;(2

【解析】

试题分析:(1)当时,设该工厂获利为,当时,,因此,该工厂不会获利,所以国家至少需要补贴万元,才能使工厂不亏损;(2)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:再利用导数求出其最值即可.

试题解析:

(1)当时,设该工厂获利为万元,则

所以当时,,因此,该工厂不会获利,所以国家至少需要补贴700万元,才能使工厂不亏损.

(2)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为

时,,所以

所以时,为减函数;

时,为增函数,

所以当时,取得最小值,即

,,

当且仅当,即时,取得最小值

当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少.

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