Question

【题目】在中， ， ， ， 是的中点， 是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.

（1）当时，证明： 平面；

（2）是否存在，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 存在，使得三棱锥的体积是.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得当时， 是的中点，而是的中点，由几何关系有.利用面面垂直的性质定理，结合平面平面，平面平面，可得平面.

(2)连接，结合(1) 结论可得平面，即是三棱锥的高，且.而，计算可得.

假设存在满足题意的，则三棱锥的体积为.解得，则，即存在满足题意.

试题解析：

（1）在中， ，

即，则，

取的中点，连接交于，

当时， 是的中点，而是的中点，

∴是的中位线，∴.

在中， 是的中点，

∴是的中点.

在中， ，

∴，则.

又平面平面，平面平面，

∴平面.

（2）连接，由（1）知，

∴，

而平面平面,平面平面.

∴平面，

即是三棱锥的高，且.

过作于点.

则，

即，

可得.

假设存在满足题意的，则三棱锥的体积为

.

解得，

∴，

故存在，使得三棱锥的体积是.