题目内容
【题目】如图所示,该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥
组合而成,
,
.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求正四棱锥的高
,使得二面角
的余弦值是
.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)要证面面垂直只需证线面垂直,而要证线面垂直,又往往需要利用线面垂直的性质定理;(Ⅱ)利用(Ⅰ)建系后求法向量,要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系,不要弄错符号.
试题解析:(Ⅰ)证明:正三棱柱中,
平面
,
所以,又
,
,
所以平面
,
平面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面
,以
为原点,
,
,
方向为
,
,
轴建立空间直角坐标系
,设正四棱锥
的高为
,
,则
,
,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量
,
则取
,则
,所以
.
设平面的一个法向量
,则
取,则
,
,所以
.
二面角的余弦值是
,
所以,
解得.
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