Question

在如图所示的几何体中，ABCD为平行四边形，∠ACB=

π

2

，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB=2EF．
（1）在线段AD上是否存在点M，使GM∥平面ABFE？并说明理由；
（2）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）存在点M，且点M是线段AD的中点．由已知条件推导出∠EGF=90°，BC=2FG，连结AF，得到四边形AFGM为平行四边形，由此能证明GM∥平面ABFE．
（2）分别以AC，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-C的大小．

解答： 解：（1）存在点M，且点M是线段AD的中点，
∵EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB=

π

2

，
∴∠EGF=90°，且△ABC∽△EFG，
∵AB=2EF，∴BC=2FG，
连结AF，∵FG∥BC，FG=

1

2

BC，
在平行四边形ABCD中，点M是线段AD的中点，
∴AM∥BC，且AM=

1

2

BC，∴FG∥AM，且FG=AM，
∴四边形AFGM为平行四边形，∴GM∥FA，
又∵FA?平面ABFE，GM不包含于平面ABFE，
∴GM∥平面ABFE．
（2）∵∠ACB=90°，∴∠CAD=90°，
又EA⊥平面ABCD，∴AC、AD、AE两两垂直，
分别以AC，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
设AC=BC=2AE=2，由题意得A（0，0，0），B（2，-2，0），
C（2，0，0），E（0，0，1），
∴

AB

=（2，-2，0），

BC

=（0，2，0），
又

EF

=

1

2

AB

，∴F（1，-1，1），

BF

=(-1，1，1)，
设平面BFC的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
则

m

•

BC

=0，

m

•

BF

=0，
∴

2y1=0 -x1+y1+z1=0

，取x₁=1，得

m

=（1，0，1），
设平面ABF的法向量为

n

=(x，y，z)，
mj

n

•

AB

=0，

.

n

•

BF

=0，
∴

2x-2y=0 -x+y+z=0

，取x=1，得

n

=(1，1，0)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2 • 2

=

1

2

，
∴二面角A-BF-C的大小为

π

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．