Question

若函数f（x）满足f（a+x）+2f（b-x）=2x，则f（x）=

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：利用x的任意性，先将a+x用t替换，得到f（t）的表达式；再将变换后的式子中的a+b-t用m替换，则得到另一个关于f（t）的方程，与前一个联立，即可解出f（t），即f（x）解出．

解答： 解：由f（x）满足f（a+x）+2f（b-x）=2x，
令t=a+x，则x=t-a，代入原式得f（t）+2f（a+b-t）=2t-2a ①
再令m=a+b-t，则t=a+b-m，代入①得f（a+b-m）+2f（m）=2b-2m，
即f（a+b-t）+2f（t）=2b-2t ②
联立①②解得
f（t）=

1

3

(2a+4b-6t)，即f（x）=

1

3

(2a+4b-6x)．
故答案为：f（x）=

1

3

(2a+4b-6x)．

点评：本题较抽象，不好理解；主要抓住解析式中的自变量的任意性进行变换，最终变换出关于f（x）的方程组，据此解方程求解．