Question

设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）是函数f（x）=

3

2

-

2

2x+ 2

图象上任意两点且x₁+x₂=1，求证：y₁+y₂=2．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：证明题

分析：由x₁+x₂=1得出x₂=1-x₁，代入y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（1-x₁）再计算得以证明．

解答： 证明：由x₁+x₂=1得x₂=1-x₁
∵A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上两点
∴y₁=f（x₁）、y₂=f（x₂）
∵y₂=f（x₂）=f（1-x₁）=

3

2

-

2

21-x1+ 2

=

3

2

-

2 •2x1

21-x1•2x1+ 2 •2x1

=

3

2

-

2 •2x1

2+ 2 •2x1

=

3

2

-

2x1

2 +2x1

∴y₁+y₂=f（x₁）+f（1-x₁）=

3

2

-

2

2x1+ 2

+

3

2

-

2x1

2 +2x1

=3-（

2

2x1+ 2

+

2x1

2 +2x1

）=3-1=2
∴y₁+y₂=2．

点评：本题考查综合应用函数的知识来解题，观察所给函数的特点及对条件的灵活变形相结合是解题的关键．