Question

13．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线C的方程为${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，点$A（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．
（1）求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标；
（2）设B为曲线C上一动点，以AB为对角线的矩形BEAF的一边平行于极轴，求矩形BEAF周长的最小值及此时点B的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）曲线C的方程为${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，即ρ²（1+2sin²θ）=3，利用互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程．点$A（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$即可化为直角坐标．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα，\;\;\\ y=sinα，\;\;\end{array}\right.（α为参数，\;\;α∈[0，\;\;2π））$，可设：设$B（\sqrt{3}cosα，\;\;sinα）$，依题意可得$|BE|=3-\sqrt{3}cosα，\;\;|BF|=\sqrt{3}-sinα$，即可得出矩形BEAF的周长，再利用和差公式即可得出．

解答 解：（1）曲线C的方程为${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，即ρ²（1+2sin²θ）=3，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
点$A（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$化为直角坐标为A$（3，\;\;\sqrt{3}）$．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα，\;\;\\ y=sinα，\;\;\end{array}\right.（α为参数，\;\;α∈[0，\;\;2π））$，
∴设$B（\sqrt{3}cosα，\;\;sinα）$，
依题意可得$|BE|=3-\sqrt{3}cosα，\;\;|BF|=\sqrt{3}-sinα$，
矩形BEAF的周长=$2|BE|+2\;|BF|=6+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}cosα-2sinα$=$6+2\sqrt{3}-4sin（{α+\frac{π}{3}}）$，
当$α=\frac{π}{6}$时，周长的最小值为$2+2\sqrt{3}$，
此时，点B的直角坐标为$（{\frac{3}{2}，\;\;\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．