Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），其图象关于直线x=1对称，f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在实数m，n（m＜n=，使得函数f（x）在定义域[m，n]上的值域为[3m，3n]．如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意得出f（2）=0，f（0）=0，设f（x）=ax（x-2）=ax²-2ax，利用f（x）=x有等根．求解即可．
（2））f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，根据f（x）在[m，n]上为增函数得出f（m）=3m，f（n）=3n，求解即可．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
其图象关于直线x=1对称，f（2）=0，
∴f（0）=0
∴f（x）=ax（x-2）=ax²-2ax，
∵方程f（x）=x有等根．
∴ax²=（2a+1）x，
2a+1=0
a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x2+x，
a=-

1

2

，b=1，c=0，
（2）f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

∵m＜n≤

1

6

∴f（x）在[m，n]上为增函数
∵f（m）=3m，f（n）=3n
∴m=-4，n=0（m=0，n=-4，不合题意，舍去）
∴存在m=-4，n=0

点评：本题考查了二次函数的性质，运用性质求解解析式，单调性运用求解值域问题，属于中档题．