Question

已知函数f（x）对一切实数x，y都满足f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈[0，

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]时，f（x）+3＜2x+a恒成立，求a的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，令x=1，y=0，可求得f（0）；
（2）令y=0，代入f（x）=f（0）+（x+1）x，即可判断函数的解析式；
（3）f（x）+3＜2x+a，得a＞x²-x+1，构造函数y=x²-x+1，根据函数的单调性求出函数的在∈[0，

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]的最大值，即可求出a 的范围，

解答： 解：（ 1）令x=1，y=0，则f（1）=f（0）+（1+1）×1，∴f（0）=f（1）-2=-2．
（2）令y=0，则f（x）=f（0）+（x+1）x，∴f（x）=x²+x-2．
（3）由f（x）+3＜2x+a，得a＞x²-x+1．设y=x²-x+1，则y=x²-x+1在（-∞，

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]上是减函数，所以y_max=1，
从而可得a＞1．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的综合，突出考查赋值法的应用，考查推理与运算能力，属于中档题．