Question

已知二次函数f（x）满足条件：①f（0）=0；②f（x+1）-f（x）=x+1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=t^f（n）（实数t＞0），求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0求出c，再由f（x+1）-f（x）=x+1得到：2ax+a+b=x+1，根据对应项的系数相等可分别求a，b；
（2）根据题意得：当n=1时a₁=T₁，且当n≥2时an=

Tn

Tn-1

，求出a_n，对t分类讨论分别利用等比数列的前n项和公式，求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=0得，c=0
又f（x+1）-f（x）=x+1，
则a（x+1）²+b（x+1）-（ax²+bx）=x+1，
化简得，2ax+a+b=x+1，得

2a=1 a+b=1

，解得a=b=

1

2

，
所以f（x）=

1

2

x²+

1

2

x；
（2）因为T_n=t^f（n）（实数t＞0），
所以当n=1时，a₁=T₁=t^f（1）=t，
当n≥2时，an=

Tn

Tn-1

=

tf(n)

tf(n-1)

=t^{f（n）-f（n-1）}
=t

1

2

n2+

1

2

n-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=tⁿ，
当n=1时，a₁也适合上式，所以an=tn，
①当t=1时，数列{a_n}的前n项和S_n=n；
②当t≠1时，数列{a_n}的前n项和S_n=

t(1-tn)

1-t

，
综上得，Sn=

n，t=1 t(1-tn) 1-t ，t≠1

．

点评：本题考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，数列的通项公式的求法，等比数列的前n项和公式，及分裂讨论思想．