题目内容
焦点为F的抛物线y2=4x上有三点A、B、C满足：①△ABC的重心是F；②|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．则直线AC的方程是 ．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用△ABC的重心是F，可得y1+y2+y3=0，x1+x2+x3=3，|FA|、|FB|、|FC|成等差数列，可求B的坐标，进而可得直线AC的斜率，从而可得直线AC的方程．
解答：
解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），
∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为F（1，0），△ABC的重心是F
∴
（x1+x2+x3）=1，y1+y2+y3=0，可得x1+x2+x3=3，
∵|FA|、|FB|、|FC|成等差数列，
∴2|FB|=|FA|+|FC|，
∴2（x2+1）=x1+1+x3+1，
∴2x2=x1+x3，
∴x2=1，
∴y2=±2，
∴y1+y3=±2，
∴kAC=
=
=±2，
设直线AC的方程是y=2x+b，代入y2=4x可得4x2+（4b-4）x+b2=0，
∴x1+x3=-b+1=2
∴b=-1，
同理直线AC的方程是y=-2x+b，代入y2=4x，可得b=-1，
∴直线AC的方程是2x±y-1=0．
故答案为：2x±y-1=0．
∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为F（1，0），△ABC的重心是F
∴
| 1 |
| 3 |
∵|FA|、|FB|、|FC|成等差数列，
∴2|FB|=|FA|+|FC|，
∴2（x2+1）=x1+1+x3+1，
∴2x2=x1+x3，
∴x2=1，
∴y2=±2，
∴y1+y3=±2，
∴kAC=
| y3-y1 |
| x3-x1 |
| 4 |
| y1+y3 |
设直线AC的方程是y=2x+b，代入y2=4x可得4x2+（4b-4）x+b2=0，
∴x1+x3=-b+1=2
∴b=-1，
同理直线AC的方程是y=-2x+b，代入y2=4x，可得b=-1，
∴直线AC的方程是2x±y-1=0．
故答案为：2x±y-1=0．
点评：本题考查抛物线方程，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，确定直线AC的斜率是关键．
练习册系列答案
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如图所示，在⊙O上半圆中，AC=a，CB=b，CD⊥AB，请你利用CD≤OD写出一个含有a，b的不等式“α=
”是“cos2α=0”的（ ）
| π |
| 4 |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不是充分条件也不是必要条件 |