Question

设直线L₁的倾斜角为α，α∈（0，

π

2

），L₁绕其上一点P沿逆时针方向旋转α角得到直线L₂，L₂的纵截距为-2，L₂绕P点沿逆时针方向旋转

π

2

-α角得到直线L₃：x+2y-1=0，则L₁的方程为

 

．

Answer 1

考点：两直线的夹角与到角问题

专题：直线与圆

分析：由题意可得直线L₁和直线L₃的夹角等于

π

2

，求得直线L₁的斜率为2，根据直线L₂的倾斜角为2α，求得直线L₂ 的斜率，从而求得直线L₂ 的方程，根据直线L₂和直线L₃的方程求得P的坐标，用点斜式求得L₁的方程．

解答： 解：由题意可得直线L₁和直线L₃的夹角等于

π

2

，如图所示：
∴直线直线L₁的斜率为2，即tanα=2．
根据图形，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，可得直线L₂的倾斜角为2α，
∴直线L₂ 的斜率为tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

3

，
∵直线L₂ 的纵截距为-2，∴直线L₂ 的方程为y=

4

3

x-2．
由

y= 4 3 x-2 x+2y-1=0

，求得点P的坐标为（-3，2），
∴直线L₁的方程为y-2=2（x+3），即2x-y+8=0，
故答案为：2x-y+8=0．

点评：本题主要考查两条直线的位置关系，两条直线的夹角公式，判断直线L₁和直线L₃的夹角等于

π

2

、直线L₂的倾斜角为2α，是解题的关键，属于中档题．