Question

求函数y=(

1

4

)x-2(

1

2

)x-3的单调区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：令t=(

1

2

)x，则y=g（t）=t²-2t-3 的对称轴为t=1．显然，函数t是减函数．再分t≥1 和令t＜1 两种情况，再依据g（t）的单调性，利用复合函数的单调性得到原函数的单调区间．

解答： 解：令t=(

1

2

)x＞0，则y=g（t）=t²-2t-3=（t-1）²-4的对称轴为t=1．
显然，函数t是减函数．
令t=(

1

2

)x≥1，可得x≤0，故在（-∞，0]上，g（t）是增函数，函数y=(

1

4

)x-2(

1

2

)x-3是减函数．
令t=(

1

2

)x＜1，可得x＞0，故在（0，+∞）上，g（t）是减函数，函数y=(

1

4

)x-2(

1

2

)x-3是增函数．
综上可得，函数y=(

1

4

)x-2(

1

2

)x-3的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性、指数函数、二次函数的图象和性质，属于中档题．