Question

（1）已知f（x+2）=2x+3，求f（3）的值；
（2）已知f（x）为二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表达式；
（3）已知f(x)+2f(

1

x

)=3x，求f（x）的表达式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）换元法：令x+2=t，可得f（t），代值计算可得；（2）由题意可设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0可得c=0，再由f（x+1）=f（x）+x+1比较系数可得a、b的方程组，解方程组可得a、b，可得解析式；（3）用

1

x

替换式中的x，连同原式可得f（x）和f（

1

x

）的方程组，消去f(

1

x

)可解方程组可得．

解答： 解：（1）令x+2=t，可得x=t-2，
代入已知可得f（t）=2（t-2）+3=2t-1，
∴f（3）=2×3-1=5
（2）由题意可设f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=0可得c=0，
又f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1，
∴ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1
∴

2a+b=b+1 a+b=1

，解得

a= 1 2 b= 1 2

，
∴f(x)=

1

2

x2+

1

2

x
（3）∵f(x)+2f(

1

x

)=3x，
∴f(

1

x

)+2f(x)=

3

x

，
联立消去f(

1

x

)可解得f(x)=

2

x

-x

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及换元法和待定系数法以及方程组的思想，属基础题．