Question

已知命题p：“函数f（x）=ax²-4x（a＞0）在（-∞，2]上单调递减”，命题q：“对任意的实数x，16x²-16（a-1）x+1＞0恒成立”，若命题“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：本题的关键是给出命题p：“函数f（x）=ax²-4x（a＞0）在（-∞，2]上单调递减”，命题q：“对任意的实数x，16x²-16（a-1）x+1＞0恒成立”，为真时a的取值范围

解答： 解：∵命题p：“函数f（x）=ax²-4x（a＞0）在（-∞，2]上单调递减
∴若p为真，那么当a＞0时，只需对称轴x=-

-4

2a

=

2

a

在区间（-∞，2]的右侧，
即 

2

a

≥2
∴0＜a≤1
又∵命题q：“对任意的实数x，16x²-16（a-1）x+1＞0恒成立
∴若q为真，那么命题等价于：方程16x²-16（a-1）x+1=0无实根．
∴△=[16（a-1）]²-4×16＜0
∴

1

2

＜a＜

3

2

∵命题“p且q”为真命题
∴p真，q真
∴

0＜a≤1 1 2 ＜a＜ 3 2

∴实数a的取值范围：

1

2

＜a≤1

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．