Question

过△OAB的重心G时直线与边OA、OB分别交于P、Q，设

OP

=h•

OA

，

OQ

=k

OB

，试证：

1

h

+

1

k

=3．

Answer 1

考点：向量数乘的运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：延长OG交边AB与M，则M为AB边中点，可得

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

2

(

1

h

OP

+

1

k

OQ

)=

1

2h

OP

+

1

2k

OQ

．又

OM

=

3

2

OG

，代入可得

OG

=

1

3h

OP

+

1

3k

OQ

．由于P、Q、G三点共线，且

OP

、

OQ

是不共线的向量．利用向量共线定理和平面向量基本定理可得

1

3h

+

1

3k

=1．

解答： 证明：延长OG交边AB与M，则M为AB边中点，
∴

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

2

(

1

h

OP

+

1

k

OQ

)=

1

2h

OP

+

1

2k

OQ

．
又

OM

=

3

2

OG

，
∴

OG

=

1

3h

OP

+

1

3k

OQ

．
∵P、Q、G三点共线，且

OP

、

OQ

是不共线的向量．
∴

1

3h

+

1

3k

=1，
即

1

h

+

1

k

=3．

点评：本题考查了三角形的重心的性质、向量的平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，属于难题．