Question

圆x²+y²=9的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个△AOB，切点为P，
（1）当|AB|最小时，求切线AB方程；
（2）若在x轴上存在异于点A的点M，在y轴上存在异于点B的点N，对圆x²+y²=9上任一点Q，有

|AQ|

|MQ|

与

|BQ|

|NQ|

都是常数，求证：直线OP与直线MN的倾斜角互补．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,证明题,直线与圆

分析：（1）用截距式设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径以及基本不等式可得ab=3

a2+b2

≤

a2+b2

2

，令t=

a2+b2

，可得t的最小值为6，此时a=b，即可得到切线方程；
（2）设出M，N，Q的坐标，运用两点的距离公式，列出等式，通过点Q的特殊点，求出M，N的坐标，再求斜率，计算直线OP与直线MN的斜率之和即可得证．

解答： 解：（1）设切线方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即 bx+ay-ab=0，
∵圆心（0，0）到直线的距离等于半径得

|0+0-ab|

a2+b2

=3，
∴ab=3

a2+b2

≤

a2+b2

2

，
令t=

a2+b2

，则有t²-6t≥0，t≥6，
则t的最小值为6，即|AB|的最小值为6，
此时a=b=3

2

，即有切线AB的方程为：x+y-3

2

=0；
（2）证明：设P（m，n），则过P的切线方程为mx+ny=9，
即有A（

9

m

，0），B（0，

9

n

），
设M（s，0），N（0，t），Q（x，y），
则

|AQ|

|MQ|

=

(x- 9 m )2+y2

(x-s)2+y2

=c₁，
由于对圆x²+y²=9上任一点Q，有

|AQ|

|MQ|

与

|BQ|

|NQ|

都是常数，
则可令Q（0，0），（3，0），则有

9 m

|s|

=

3- 9 m

|3-s|

解得，s=

9

6-m

；
又

|BQ|

|NQ|

=

x2+(y- 9 n )2

x2+(y-t)2

=c₂，
可令Q（0，0），（0，3），则有

9 n

|t|

=

3- 9 n

(3-t|

，解得，t=

9

6-n

，
直线OP的斜率为

n

m

，
直线MN的斜率为-

6-n

6-m

，
当m=n时，直线OP、MN的斜率互为相反数，
当m+n=6时，直线OP、MN的斜率互为相反数，但m²+n²=9，联立方程m+n=6，无解．
故在（1）的条件下，直线OP与直线MN的倾斜角互补．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式的运用，直线的截距式方程，利用了换元的思想，同时考查圆的又一定义，考查直线的斜率的运用，考查推理判断能力，属于中档题．