Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点为A，左原点为B，F为右焦点，离心率e=

2

2

，过F作平行于AB的直线交椭圆于C，D两点，作平行四边形OCED，求证：E在此椭圆上．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意可知AB的斜率，进而根据点斜式表示出直线CD的方程，代入椭圆方程，进而可表示出CD的中点的坐标，则E点的坐标可得，代入椭圆方程即可证得结论．

解答： 证明：焦点为F（c，0），AB斜率为

b

a

，故CD的方程为y=

b

a

（x-c）．
与椭圆联立后消去y，得2x²-2cx-b²=0，
∴x_c+x_d=c，
∴CD的中点为G（

c

2

，-

bc

2a

），
点E的坐标为（c，-

bc

a

），
∵又离心率e=

2

2

，
∴E的坐标为（c，-

2

2

b）
∴将E代入椭圆方程得：

c2

a2

+

1 2 b2

b2

=e2+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1成立，
故E在此椭圆上．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生综合运用基础知识的能力．