Question

7．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1≥0}\\{x-3y+2≤0}\\{x+2y-8≤0}\end{array}\right.$，则目标函数z=（2-z）x+y的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{7}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，将目标函数进行整理，结合直线的斜率公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=（2-z）x+y得z（1+x）=2x+y，
由图象知x＞0，
则z=$\frac{2x+y}{x+1}$=$\frac{2（x+1）+y-2}{x+1}$=2+$\frac{y-2}{x+1}$，
设k=$\frac{y-2}{x+1}$，
则k的几何意义是区域内的点到定点D（-1，2）的斜率，
由图象知AD的斜率最大，此时z=2+k最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{x+2y-8=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
此时k=$\frac{3-2}{2+1}=\frac{1}{3}$，
则z=2+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线的斜率公式是解决本题的关键．