Question

18．已知a＞0，b＞0，a²+b²-6a=0，则ab的最大值为（　　）

• A． $\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$
• B． 9
• C． $\frac{81}{4}$
• D． $\frac{27}{4}$

Answer 1

分析 根据题意可得9=（a-3）²+b²，设a=3cosθ+3，b=3sinθ，根据二倍角公式和同角的三角函数的关系可得ab=36（1-sin²$\frac{θ}{2}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$，设sin$\frac{θ}{2}$=x，则0＜x＜1，令f（x）=（1-x²）${\;}^{\frac{3}{2}}$•x，根据导数和函数最值得关系求出最大值即可．

解答 解：∵a＞0，b＞0，配方为9=（a-3）²+b²，
设a=3cosθ+3，b=3sinθ，
∴ab=（3cosθ+3）•3sinθ=9×2cos²$\frac{θ}{2}$•2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$
=36（cos²$\frac{θ}{2}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$=36（1-sin²$\frac{θ}{2}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$，
再设sin$\frac{θ}{2}$=x，则0＜x＜1
令f（x）=（1-x²）${\;}^{\frac{3}{2}}$•x，
∴f′（x）=（1-x²）${\;}^{\frac{1}{2}}$（（1-4x²），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当$\frac{1}{2}$＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=（1-$\frac{1}{4}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$，
∴ab的最大值为36×$\frac{3\sqrt{3}}{16}$=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$
故选：A

点评 本题考查了导数和函数最值的关系，关键采用换元，本题两次换元，考查了学生的转化能力和运算能力，属于难题．