Question

19．已知数列{a_n}满足：a₁+2a₂+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}，n∈{N^*}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（3n-2）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：当n=1时，a₁=1．当n≥2时，a₁+2a₂+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$，两式相减即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=（3n-2）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，采用“错位相减法”即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=4-$\frac{3}{{2}^{0}}$=1．
当n≥2时，a₁+2a₂+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$…①
a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$…②
①-②得：na_n=$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（2n+2-n-2）=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
当n=1时，a₁也适合上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$ （n∈N^*）．
（2）b_n=（3n-2）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
S_n=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{4}{{2}^{1}}$+$\frac{7}{{2}^{2}}$+…+（3n-5）$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+（3n-2）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，…①
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{4}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+（3n-5）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（3n-2）$\frac{1}{{2}^{n}}$，…②
①-②得：$\frac{1}{2}$S_n=1+3（$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$ ）-（3n-2）$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+3•$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-（3n-2）$\frac{1}{{2}^{n}}$=4-$\frac{3n+4}{{2}^{n}}$，
∴S_n=8-$\frac{3n+4}{{2}^{n-1}}$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n，S_n=8-$\frac{3n+4}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的递推公式，等比数列前n项和公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．