Question

16．已知定圆⊙F₁：x²+y²+4x+3=0，⊙F₂：x²+y²-4x-5=0，动圆M与圆F₁、F₂都外切或都内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹曲线C的方程．
（2）过点F₁的直线l与曲线C交于A、B两点，与⊙F₂交于P、Q两点，若|PQ|=2，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用定圆⊙F₁：x²+y²+4x+3=0，⊙F₂：x²+y²-4x-5=0，动圆M与圆F₁、F₂都外切或都内切，结合双曲线的定义，即可得出轨迹方程．
（2）求出直线方程，即可求|AB|．

解答 解：（1）⊙F₁：x²+y²+4x+3=0和，⊙F₂：x²+y²-4x-5=0，
即圆F₁：（x+2）²+y²=1和F₂：（x-2）²+y²=9．
设动圆的圆心P（x，y），半径为R，
由题意，与两已知圆都外切或都内切，有|PC₁|=R+3，|PC₂|=R+1，|PC₁|-|PC₂|=2＜4，
∴点P的轨迹是双曲线的一支，方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1（{x＜-1}）$；
（2）令直线l：x=my-2，从而${d_{{F_2}→1}}=\frac{4}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$，
∴9=$\frac{16}{1+{m}^{2}}$+1，
根据对称性，不妨设m=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，可得2x²-4x-7=0，
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{4+4•\frac{7}{2}}$=6．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．