Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2．
（1）证明：EF∥平面PBC；
（2）若$PB=\sqrt{6}$，求三棱锥A-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PBC．
（2）取AD中点O，连接OB，OP，推导出BO⊥AD，PO⊥BO，从而PO⊥平面ABCD．由此${V_{A-DEF}}={V_{E-ADF}}=\frac{1}{3}{S_{△ADF}}•EG$．从而能求出三棱锥A-DEF的体积．

解答 证明：（1）连接AC，因为四边形ABCD是菱形，F为BD中点，
所以F为AC中点．
又因为E为PA中点，所以EF∥PC，又EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．  …（6分）
解：（2）取AD中点O，连接OB，OP，因为PA=PD，
所以PO⊥AD，因为菱形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，
所以△ABD是等边三角形，所以BO⊥AD，
由已知$BO=\sqrt{3}，PO=\sqrt{3}$，若$PB=\sqrt{6}$，
由BO²+PO²=PB²得PO⊥BO，
所以平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．
过E作EG⊥AD于G，则EG⊥平面ABCD．
因为E为PA中点，所以$EG=\frac{1}{2}OP=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以${V_{A-DEF}}={V_{E-ADF}}=\frac{1}{3}{S_{△ADF}}•EG=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{4}$． …（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．