Question

4．在△ABC中，B（$\sqrt{3}$，0）、C（-$\sqrt{3}$，0），动点A满足sinB+sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA．
（1）求动点A的轨迹D的方程；
（2）若点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），经过点P作一条直线l与轨迹D相交于点M，N，并且P为线段MN的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意利用椭圆的定义可得A点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），求得a=2，又 c=$\sqrt{3}$，可得b²=a²-c² 的值，从而求得椭圆的标准方程．
（2）利用点差法以及韦达定理求得直线l的斜率，再用点斜式求得l的方程．

解答 解：（1）△ABC中，B（$\sqrt{3}$，0）、C（-$\sqrt{3}$，0），动点A满足sinB+sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，
利用正弦定理可得|AC|+|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|BC|，即|AC|+|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|BC|=4＞|BC|，
∴A点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），
∵2a=4，∴a=2，又 c=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1，
故椭圆的标准方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设M （x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}{{+y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}{{+y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，
两方程相减得 $\frac{{{（x}_{1}}^{2}{{-x}_{2}}^{2}）}{4}$+${{y}_{1}}^{2}$-${{y}_{2}}^{2}$=0，即$\frac{{（x}_{1}{+x}_{2}）•（{{x}_{1}-x}_{2}）}{4}$+（y₁+y₂）•（y₁-y₂）=0．
根据P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）为线段MN的中点，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=1}\\{{y}_{1}{+y}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{2}$=0，∴K_MN=$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
所以，直线l的方程为y-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$），即 y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查求点的轨迹方程的方法，椭圆的定义及标准方程，直线和圆锥曲线相交的性质，韦达定理的应用，属于中档题．