Question

如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．
（1）求证：AE⊥平面CDE；
（2）求证：FG∥平面BCD；
（3）在线段DC上找一点R，使得平面AER⊥平面DCB，并说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC．根据线面垂直的判定定理，我们可得AE⊥平面CDE；
（2）取AB中点H，连接GH，FH，由三角形中位线定理，我们易得到GH∥BD，FH∥BC，由面面平行的判定定理得到面FHG∥面BCD，再由面面平行的定义，得到FG∥平面BCD；
（3）取线段DC中点R，则平面AER⊥平面DCB，根据线面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到结论．

解答： 证明：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC．
∵DE∩EC=E，DE、EC?平面DCE．…（2分）
∴AE⊥平面CDE．…（4分）
（1）取AB中点H，连接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥面BCD，FH∥面BCD．
∴面FHG∥面BCD，∵GF?面FHG
∴GF∥平面BCD．…（8分）
（3）取线段DC中点R，则平面AER⊥平面DCB
∵在△DEC中，DE=EC，R为DC中点
∴ER⊥DC …（9分）
∵AE⊥平面CDE，DC?平面DCE
∴AE⊥DC…（10分）
又ER∩AE=E，AE、ER?平面AER．
∴DC⊥平面AER…（11分）
∵DC?平面DCB
∴平面AER⊥平面DCB
即 取DC中点R时，有平面AER⊥平面DCB …（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面之间平行及垂直的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答此类问题的关键．