Question

已知定义域在R上的函数f（x）满足f（1）=1，f（1-x）=1-f（x），2f（x）=f（4x），且当0≤x₁≤x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f（

1

33

）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由条件f（1）=1，且f（x）+f（1-x）=1，得到f（

1

2

）=

1

2

，再由f（4x）=2f（x），即f（

1

4

）=

1

2

，再求f（

1

8

），f（

1

16

），f（

1

32

），f（

1

64

），再由当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），由

1

64

＜

1

33

＜

1

32

，即可得到答案．

解答： 解：∵f（1）=1，且f（x）+f（1-x）=1，
令x=

1

2

，则f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，
即有f（

1

2

）=

1

2

，
∵f（4x）=2f（x），
∴f（1）=2f（

1

4

），
即f（

1

4

）=

1

2

，
则有f（

1

8

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
f（

1

16

）=

1

2

f（

1

4

）=

1

4

，
f（

1

32

）=

1

2

f（

1

8

）=

1

8

，
f（

1

64

）=

1

2

f（

1

16

）=

1

8

，
∵当0≤x₁≤x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
∴由

1

64

＜

1

33

＜

1

32

，得到f（

1

64

）≤f（

1

33

）≤f（

1

32

），
而f（

1

32

）=

1

8

，f（

1

64

）=

1

8

，则f（

1

33

）=

1

8

．
故答案为：

1

8

．

点评：本题考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性及运用，考查推理能力，属于中档题．