Question

已知4^x-9•2^x+1+32≤0，求函数y=（log₂x-1）•（log₂x-3）的最大值、最小值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，先解4^x-9•2^x+1+32≤0得出x的取值范围，再求复合函数y=（log₂x-1）•（log₂x-3）的最大值、最小值．

解答： 解：4^x-9•2^x+1+32≤0，即4^x-18•2^x+32≤0，即（2^x-2）（2^x-16）≤0，解得2≤2^x≤16，即得1≤x≤4，
y=（log₂x-1）•（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3
令t=log₂x，由1≤x≤4得t∈[0，2]，
所以y=t²-4t+3=（t-2）²-1，t∈[0，2]，
当t=0时，y取到最大值3，当t=2时，y取到最小值-1．

点评：本题考查复合函数的单调性求最值，此类函数最值一般根据复合函数的特点，由内而外逐层求解．