Question

4．已知直线l：x+y=1与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求l与C相交所得的弦长；
（2）若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{1}{2}$，l与C联立，消去y，可得3x²+2x-2=0，利用弦长公式求l与C相交所得的弦长；
（2）由直线l：x+y=1与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，消去y，并整理得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0，由C与l相交于两个不同的点，确定a的范围，即可求得双曲线C的离心率e的取值范围．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$，l与C联立，消去y，可得3x²+2x-2=0，
∴l与C相交所得的弦长为$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{8}{3}}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$；
（2）由直线l：x+y=1与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，消去y，并整理得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-{a}^{2}≠0}\\{4{a}^{4}+8{a}^{2}（1-{a}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\sqrt{2}$，且a≠1，
而双曲线C的离心率e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{a}$=$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+1}$，从而e＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$，且e≠$\sqrt{2}$，
故双曲线C的离心率e的取值范围为（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}，+∞$）．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．