Question

9．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α，
（1）求矩形ABCD的面积y关于角α的函数关系式y=f（α）；
（2）求y=f（α）的单调递增区间；
（3）问当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 （1）先用所给的角表示AB，BC，即可将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型；
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2α+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{π}{3}$+kπ≤α≤$\frac{π}{6}$+kπ，结合0＜α＜$\frac{π}{3}$，可得y=f（α）的单调递增区间；
（3）根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．

解答 解：（1）如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，$\frac{DA}{OA}$=tan60°=$\sqrt{3}$，所以OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
所以AB=OB-OA=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα）sinα=sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α
=$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（0＜α＜$\frac{π}{3}$）．
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2α+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{π}{3}$+kπ≤α≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∵0＜α＜$\frac{π}{3}$，
∴y=f（α）的单调递增区间是（0，$\frac{π}{6}$）；
（3）由于0＜α＜$\frac{π}{3}$，所以当2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$时，S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．