题目内容

11．有下列命题：
①在函数y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②命题：“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；
③“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：存在x0∈R，使得sinx0＞1；
⑤命题“若0＜a＜1，则loga（a+1）＞loga（1+$\frac{1}{a}$）”是真命题；
⑥在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．
其中所有真命题的序号是④⑤．

分析 求出函数的周期，可判断①；写出原命题的否命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④；根据对数函数的图象和性质，可判断⑤；求出C角的大小，可判断⑥．

解答 解：①函数y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$cos2x的周期为π，相邻两个对称中心的距离为$\frac{1}{2}$π，故错误；
②命题：“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，故错误；
③“a≠5且b≠-5”时，“a+b≠0”不一定成立，故“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的不充分条件；
“a+b≠0”时，“a≠5且b≠-5”不一定成立，故“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的不必要条件；
综上“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的不充分不必要条件，故错误；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：存在x0∈R，使得sinx0＞1，故正确；
⑤若0＜a＜1，则a+1＜1+$\frac{1}{a}$，则loga（a+1）＞loga（1+$\frac{1}{a}$），故命题“若0＜a＜1，则loga（a+1）＞loga（1+$\frac{1}{a}$）”是真命题，故正确；
⑥在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，
两式平方得：25+12（sinAcosB+cosAsinB）=37，
即sinC=$\frac{1}{2}$，则角C等于30°或150°．
当C=150°时，A+B=30°，
此时3sinA+4cosB＜3sin30°+4cos0°=$\frac{11}{2}$，这与3sinA+4cosB=6相矛盾，
∴C=30°，故错误；
故答案为：④⑤

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的周期性，四种命题，充要条件，命题的否定，给值求角等知识点，难度中档．

练习册系列答案
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