Question

6．△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，E为线段AC上的动点，且$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AD}$，则μ-λ的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 可画出图形，根据条件便可得到$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}$（0≤k≤1），这样带入$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$便可得到$k\overrightarrow{AC}=（λ+\frac{μ}{3}）\overrightarrow{AB}+\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AC}$，从而有$\left\{\begin{array}{l}{λ+\frac{μ}{3}=0}\\{\frac{2μ}{3}=k}\end{array}\right.$，这样便可得到μ-λ=2k，从而得出μ-λ的最大值为2．

解答 解：如图，
根据条件，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$；
∵E在AC上；
∴存在k使得$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}$，（0≤k≤1）；
∴由$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$得，$k\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AB}+μ（\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）$=$（λ+\frac{μ}{3}）\overrightarrow{AB}+\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+\frac{μ}{3}=0}\\{\frac{2μ}{3}=k}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=-\frac{1}{2}k}\\{μ=\frac{3}{2}k}\end{array}\right.$；
∴μ-λ=2k≤2；
∴μ-λ的最大值为2．
故选B．

点评 考查向量加法、减法及数乘的几何意义，以及共线向量基本定理，向量的数乘运算，平面向量基本定理．